超臨界ホップ分岐による研削びびり現象の解析

正準方程式(3 - 35)を得た後、振幅B(T1, T2)の議論によって研削ビビリの発生を調査することが可能になった。極座標変換を導入した：

式(3 - 36)を式(3 - 35)に代入し、その実部と虚部を分離すると次のようになる。

ここで、αはα(T1, T2)に等しく、βはβ(T1, T2)に等しく、Re(-)とIm(-)はそれぞれ-の実部と虚部を表す。

式(3 - 24)によれば、式(3 - 37)のαとβはそれぞれ震動運動の近似解の振幅補正項と周波数補正項を表し、式(3 - 37)のαには2つの異なる定常解が存在することは明らかである。

それぞれ、研削の安定性と研削のびびりを表している。

次に、αの解の安定性について議論した後、震え運動の安定性を導き出すことができる。

簡単に言えば、次のようなことだ。

この時、α1の持ち上げは定常状態にあり、前章で検討した定常研磨プロセスに対応する状態であり、この時にはチャタリング運動は発生しない。しかし

その時、この研磨プロセスが定常状態を失い始め、ビビリが発生し、その時点で振幅αが徐々に増加する。再び現れると

これは周期的なチャープの振幅であり、超臨界ホップ分岐が起こる場所と言われている。

次に、このような振動運動の様式を、図2-7の領域IとIIを拡大して図3-1にプロットするなど、いくつかの例で説明する。また、その後の解析を容易にするため、図3-1では矢印A、B、Cにラベルを付けている。

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図3-1 安定境界線と矢印の拡大図

矢印A、κ1は0.9、τgは14、τwcは16.732、ωは1.678。

κ1の値は0.9、τgの値は11.6、τwcの値は17.638、ωの値は1.048 5である。

は矢印Cで表され、κ1は0.9、τgは11.6、τwcは18.391、ωは1.531に等しい。

図3-1の矢印に沿って、式(3-9)においてεκ1εが0に等しい場合、系パラメータは安定領域から不安定領域に向かってスライドし、それに伴って研削過程も定常研削からチャタリング運動へと変化する。矢印A,B,Cに対応し、定常チャタリング運動の式(3 - 37)を用いて得られる解はそれぞれ次のようになる。

矢印A,B,Cはそれぞれ異なる安定境界を越えた場合に対応するため、異なるフラッターモードを誘起する。式(3-39)、(3-40)、(3-41)によれば、これらの異なるフラッターモードの周波数と振幅は大きく異なる。例えば、矢印Aに対応する振動振動の振幅は、矢印Bに対応する振動振動の振幅の約10倍である。もう一つの興味深い結果は、式(3-39)、(3-40)、(3-41)の振幅が大きい振動ほど振動数が高いということである。物理学的には、振幅が大きいことはエネルギーが大きいことに相当し、この場合、周波数が高いことはエネルギーが大きいことに相当する。したがって、これらの異なる周期振動が持つ振動エネルギーは大きく異なることがわかる。したがって、研削工程におけるパラメーターの選択も、振動運動の強さを低減するための非常に重要な期間となる。

得られた理論結果を検証するため、原方程式を数値積分し、数値結果と理論結果を比較した結果が図 3-2 である。特に、図 3-2(a)、(b)、(c)は、矢印 A、B、C の分岐図に相当し、チャープの振幅 y1max とパラメータ τw の関係を反映している。図3-2(d),(e),(f)は、このシステムで起こりうるフラッター振動の時系列を示し、これらは分岐図の3つの異なる点に対応している。また、図3-2(g),(h),(i)は、時系列に対応する位相図を示す。この図から、理論解析の結果と数値積分の結果がよく一致していることがわかる。また、(g)、(h)、(i)の位相図から、びびりの発生時には砥石とワークの変位が相対運動しており、一種の反同期運動に近いことがわかる。つまり、びびり発生時には砥石とワークの相対位置y1 - y2が大きく変化し、その結果、研削深さ、切削力の大きさの変化も相対的に大きくなる。

図 3 - 2 は、左の列の分岐図、中央の列の時間経過図、右の列の位相図を示しており、実線は式(3 - 39)、(3 - 40)、(3 - 41)で表される理論結果を、点は数値積分の結果を表している。ドットは数値積分の結果を表す。