Analysis of grinding chatter phenomenon caused by supercritical Hopf bifurcation

在获取到规范型方程（3 – 35）之后，紧接着便能够借助对振幅B（T1，T2）展开讨论，以此来探究磨削颤振的生成过程。引入了极坐标变换：

把方程（3 – 36）代入到方程（3 – 35）之中，并且将它的实部与虚部分离开来，能够得到。

当中，α等于α（T1，T2），β等于β（T1，T2），并且Re（·）以及Im（·）分别表示·的实部还有虚部。

根据方程（3 – 24）能够知道，方程（3 – 37）当中的α与β分别表示了颤振运动近似解的振幅以及频率修正项，很明显，方程（3 – 37）里的α存在两个不一样的稳态解致使。

，它们是分别代表磨削稳定和磨削颤振的

接下来，经过对α的解的稳定性展开讨论，我们能够得出颤振运动的稳定性。

简单来说，当

当时，解除α1处于稳定状态，这种状态对应着前一章所探讨的稳定磨削过程，在这个时候不存在颤振运动产生。然而当。

那个时候，这个磨削的进程开始失去稳定状态，颤振随之产生，在这个时候，振幅α就会渐渐增大。要是再出现了。

那么，α会稳定在α2，此乃周期性颤振的振幅，称在此出现了超临界Hopf分岔。

接着，通过几个示例来阐释这种样式的颤振运动，像把那图2 – 7里的区域Ⅰ以及Ⅱ进行放大，而后绘制于图3 – 1当中。另外，图3 – 1里还对箭头A、B以及C做了标记，以此方便后续的剖析。

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图3-1　放大的稳定性边界及箭头标记

箭头A，其中κ1等于0.9，τg为14，τwc是16.732，ω为1.678。

指向的箭头为B，其中κ1的值是0.9，τg的值为11.6，τwc的值是17.638，ω的值为1.048 5。

用箭头C表示，其中κ1等于0.9，τg的值是11.6，τwc为18.391，ω等于1.531。

沿着图3 – 1里的各箭头，针对方程（3 – 9）中εκ1ε等于0的情况，系统参数朝着不稳定区域从稳定区域滑动，并且磨削过程相应地由稳定磨削转变成颤振运动。对应箭头A、B及C，我们借助方程（3 – 37）所得到的稳定颤振运动的解分别是。

鉴于箭头A、B以及C分别对应着穿过不一样的稳定性边界的情形，所以它们引发了各不相同的颤振模态。依据方程（3-39）、方程（3-40）连同方程（3-41）能够知道，这些各异颤振模态的频率跟振幅也是相差很大的。就像箭头A所对应的颤振振幅大概是箭头B所对应的颤振振幅的十倍这样。另外还有一个蛮有意思的结果是，方程（3-39）、方程（3-40）还有方程（3-41）里越大振幅的颤振对应了越高的振动频率。就物理方面而言，高的振幅对应着高的能量，有着此情况之下对应的高的频率，也对应高的能量，由此能够知晓，这些不同的周期性颤振拥有的振动能量也是相差很多的，所以，磨削加工过程当中的参数选择，对于降低颤振运动的强度也是相当关键重要的句号。

将原方程进行数值积分，以此来验证先前得到的理论结果，之后比较了数值与理论的结果，这些结果全都绘制在了图3-2里。其中，图3-2（a）、（b）以及（c）对应着箭头A、B和C的分岔图，此分岔图反映出颤振振幅y1max跟参数τw之间的关系。图3-2（d）、（e）和（f）是系统里可能产生的颤振时间序列，它们对应着分岔图里三个不同的点，而图3-2（g）、（h）和（i）是与时间序列相对应的相图。该图能看出，理论分析结果与数值积分结果吻合得相当不错。另外，相图3 – 2（g）、（h）以及（i）表明，颤振发生时砂轮与工件位移呈现相对运动之势，类似于一种反同步运动。这意味着，颤振过程中砂轮和工件相对位置y1 – y2变化较大，进而磨削深度和切削力变化幅值也会相对较大。

图3 – 2呈现分岔图，位于左列，还有时间历程图，在中列，另外有相图，处于右列，其中实线代表理论结果，该理论结果由方程（3 – 39）、方程（3 – 40）以及方程（3 – 41）所表示，而点代表数值积分的结果。