Analyse des Ratterphänomens beim Schleifen, verursacht durch eine überkritische Hopf-Bifurkation

Nach der Aufstellung der kanonischen Gleichungen (3 - 35) war es dann möglich, die Entstehung von Mahlrattern anhand einer Diskussion der Amplitude B(T1, T2) zu untersuchen. Es wurden Polarkoordinatentransformationen eingeführt:

Setzt man Gleichung (3 - 36) in Gleichung (3 - 35) ein und trennt ihren Real- und Imaginärteil, so erhält man.

wobei α gleich α(T1, T2) ist, β gleich β(T1, T2) ist und Re(-) und Im(-) die Real- bzw. Imaginärteile von - bezeichnen.

Gemäß Gleichung (3 - 24) stellen α und β in Gleichung (3 - 37) die Amplituden- bzw. Frequenzkorrekturterme der Näherungslösung der zitternden Bewegung dar, und es ist offensichtlich, dass es in Gleichung (3 - 37) zwei verschiedene Lösungen für α im stationären Zustand gibt.

Sie stehen für die Stabilität des Schleifens bzw. für das Rütteln beim Schleifen.

Nach einer Diskussion über die Stabilität der Lösungen von α können wir die Stabilität der zitternden Bewegung ableiten.

Einfach ausgedrückt, wenn

Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Anhebung von α1 in einem stabilen Zustand, einem Zustand, der dem im vorigen Kapitel untersuchten stationären Schleifprozess entspricht, bei dem keine Ratterbewegung erzeugt wird. Wenn jedoch.

Zu diesem Zeitpunkt beginnt dieser Schleifprozess aus dem Gleichgewicht zu geraten und es kommt zu einem Rattervorgang, bei dem die Amplitude α allmählich ansteigt. Wenn es wieder auftritt.

Dann stabilisiert sich α bei α2, der Amplitude des periodischen Chirps, und man sagt, dass dies der Ort ist, an dem die überkritische Hopf-Bifurkation auftritt.

Im Folgenden wird diese Art der Schwingungsbewegung anhand mehrerer Beispiele veranschaulicht, z. B. durch Heranzoomen der Regionen I und II in Abb. 2-7, die in Abb. 3-1 dargestellt sind. Außerdem sind die Pfeile A, B und C in Abbildung 3-1 beschriftet, um die weitere Analyse zu erleichtern.

()

Abbildung 3-1 Vergrößerte Stabilitätsgrenzen und Pfeilmarkierungen

Pfeil A, wobei κ1 gleich 0,9, τg gleich 14, τwc gleich 16,732 und ω gleich 1,678 ist.

Der Pfeil zeigt nach B, wo der Wert von κ1 0,9, der Wert von τg 11,6, der Wert von τwc 17,638 und der Wert von ω 1,048 beträgt 5.

wird durch den Pfeil C dargestellt, wobei κ1 gleich 0,9, der Wert von τg gleich 11,6, τwc gleich 18,391 und ω gleich 1,531 ist.

Entlang der Pfeile in Abb. 3-1 gleiten die Systemparameter für den Fall, dass εκ1ε in Gleichung (3-9) gleich 0 ist, aus dem stabilen Bereich in den instabilen Bereich, und der Schleifprozess wechselt dementsprechend vom stationären Schleifen zur ratterenden Bewegung. Entsprechend den Pfeilen A, B und C lauten die Lösungen, die wir mit Hilfe von Gleichung (3-37) für die stetige Ratterbewegung erhalten, entsprechend.

Da die Pfeile A, B und C den Fällen entsprechen, in denen unterschiedliche Stabilitätsgrenzen überschritten werden, führen sie zu unterschiedlichen Flattermoden. Gemäß den Gleichungen (3-39), (3-40) und (3-41) sind die Frequenzen und Amplituden dieser verschiedenen Flattermoden sehr unterschiedlich. Zum Beispiel ist die Amplitude der Schwingung, die dem Pfeil A entspricht, etwa zehnmal so groß wie die Amplitude der Schwingung, die dem Pfeil B entspricht. Ein weiteres interessantes Ergebnis ist, dass die Schwingungen mit größerer Amplitude in den Gleichungen (3-39), (3-40) und (3-41) höheren Schwingungsfrequenzen entsprechen. Physikalisch gesehen entspricht eine hohe Amplitude einer hohen Energie, und in diesem Fall entspricht eine hohe Frequenz einer hohen Energie. Es ist also zu erkennen, dass die Schwingungsenergie, die diese verschiedenen periodischen Schwingungen besitzen, sehr unterschiedlich ist, so dass die Auswahl der Parameter im Schleifprozess auch eine sehr wichtige Periode zur Verringerung der Intensität der Schwingungsbewegung ist.

Die ursprünglichen Gleichungen wurden numerisch integriert, um die zuvor erhaltenen theoretischen Ergebnisse zu überprüfen, und dann wurden die numerischen und theoretischen Ergebnisse verglichen, die alle in Abbildung 3-2 dargestellt sind. Die Abbildungen 3-2(a), (b) und (c) entsprechen den Bifurkationsdiagrammen mit den Pfeilen A, B und C. Dieses Bifurkationsdiagramm spiegelt die Beziehung zwischen der Amplitude des Chirp, y1max, und dem Parameter τw wider. Die Abbildungen 3-2(d), (e) und (f) zeigen die Zeitreihen möglicher Flatterschwingungen im System, die drei verschiedenen Punkten im Bifurkationsdiagramm entsprechen, während die Abbildungen 3-2(g), (h) und (i) die den Zeitreihen entsprechenden Phasendiagramme zeigen. Diese Abbildung zeigt, dass die Ergebnisse der theoretischen Analysen recht gut mit den Ergebnissen der numerischen Integration übereinstimmen. Darüber hinaus zeigen die Phasendiagramme 3-2 (g), (h) und (i), dass sich die Schleifscheibe und die Werkstückverschiebungen in einer relativen Bewegung befinden, wenn das Rattern auftritt, was einer Art antisynchroner Bewegung ähnelt. Das bedeutet, dass sich die relativen Positionen y1 - y2 der Schleifscheibe und des Werkstücks während des Ratterns erheblich ändern, und folglich sind auch die Schleiftiefe und die Schnittkraftänderung relativ groß.

Abbildung 3-2 zeigt das Bifurkationsdiagramm in der linken Spalte, das Zeitverlaufsdiagramm in der mittleren Spalte und das Phasendiagramm in der rechten Spalte, wobei die durchgezogenen Linien die theoretischen Ergebnisse darstellen, die durch die Gleichungen (3-39), (3-40) und (3-41) repräsentiert werden und die Punkte die Ergebnisse der numerischen Integration darstellen.